許多激光光學(xué)應(yīng)用都假設(shè)激光束是高斯光束，其輻照度分布符合理想高斯分布。其實(shí)，所有實(shí)際的激光束都會(huì)與理想高斯行為有一些偏差。M²因子（也稱(chēng)為光束質(zhì)量因子）比較真實(shí)激光束和衍射極限高斯光束的性能。¹ 高斯輻照度分布以光束中心為軸對(duì)稱(chēng)，并且隨著光束中心與傳播方向垂直距離的增加而減小（圖 1）。該分布由公式 1² 描述：

在等式 1中，I0 為光束中心處的峰值輻照度，r 為離軸的徑向距離，w(z) 為激光束的半徑，輻照度為 I0 的 1/e2 (13.5%)，z 為波前為平面時(shí)從平面?zhèn)鞑サ木嚯x，P 為光束的總功率。

圖 1: 高斯光束的束腰定義為輻照度為其大值 1/e2 (13.5%) 的位置

不過(guò)，當(dāng)光束在空間中傳播時(shí)，這種輻照度剖面并不保持恒定，因此w(z) 依賴(lài)于z。由于衍射作用，高斯光束會(huì)從束腰 (w0) 區(qū)域收斂并發(fā)散，而束腰 (w0) 區(qū)域是光束直徑達(dá)到小值的地方。光束收斂和發(fā)散都在束腰兩端發(fā)散角 θ 范圍內(nèi)（圖 2）。束腰和發(fā)散角均從坐標(biāo)軸上測(cè)量，其關(guān)系如公式 2 和公式 3 所示2：

在上面的等式中，λ 是激光的波長(zhǎng)，θ 是遠(yuǎn)場(chǎng)近似值。因此，θ 不能準(zhǔn)確反映束腰附近的發(fā)散，但與束腰的距離越遠(yuǎn)，它便更準(zhǔn)確。由公式 3 可知，束腰越小，發(fā)散角越大；束腰越大，發(fā)散角越?。ɑ蛘吖馐街保＿@就解釋了為什么激光擴(kuò)束鏡可以通過(guò)增加光束直徑來(lái)減小光束發(fā)散。

 圖 2: 高斯光束通過(guò)其束腰 (w0)、瑞利長(zhǎng)度 (zR) 和發(fā)散角 (θ) 定義

束腰區(qū)域光束直徑的變化定義為:

高斯光束的瑞利長(zhǎng)度定義為 z 值，此長(zhǎng)度是光束橫截面積為束腰兩倍的位置。w(z) 增加至 √2w0. 時(shí)會(huì)發(fā)生這種情況。利用公式 5，瑞利長(zhǎng)度 (zR) 可以表示為

這使得 w(z) 也與 zR 相關(guān):

束腰處的激光波前是平面，相對(duì)束腰區(qū)域的距離增加時(shí)，波前會(huì)再次成形。這是因?yàn)椴ㄇ扒拾霃介_(kāi)始接近無(wú)窮大。波前的曲率半徑從束腰處的無(wú)窮大減小到瑞利長(zhǎng)度處的小值，在遠(yuǎn)離激光器時(shí)重新回到無(wú)窮大（圖 3）；束腰兩端都是如此。³

圖 3: 當(dāng)高斯光束離束腰非常近和非常遠(yuǎn)時(shí)，其波前曲率接近于零

高斯光束處理

許多激光光學(xué)系統(tǒng)需要處理激光光束，而不是簡(jiǎn)單地使用“原始”光束。這可以通過(guò)使用光學(xué)組件（如透鏡、反射鏡、棱鏡等）實(shí)現(xiàn)。下面是一些常見(jiàn)的高斯光束使用指南。

高斯光束的薄透鏡公式

理想薄透鏡的性能可以采用以下公式描述2:

在 公式 8 中，s’ 是透鏡到圖像的距離，s 是透鏡到物體的距離，f 是透鏡的焦距。如果物體和圖像在透鏡的相對(duì)兩側(cè)，則 s 為負(fù)值，s’ 為正值。該公式忽略了真實(shí)透鏡的厚度，因此只是實(shí)際情況的簡(jiǎn)單近似（圖 4）。薄透鏡公式也可以采用無(wú)因次形式表示，即公式兩邊同時(shí)乘以 f:

圖 4: 薄透鏡公式能夠在已知透鏡到物體的距離 (s) 和透鏡的焦距(f) 時(shí)確定圖像的位置 (s’ )

除了描述成像應(yīng)用外，薄透鏡等式還適用于高斯光束的聚焦，將輸入光束的束腰作為物體，輸出光束的束腰作為圖像。高斯光束經(jīng)過(guò)無(wú)像差的理想透鏡后，仍然是高斯光束。1983 年，Sidney Self 開(kāi)發(fā)了一種計(jì)算高斯傳播的薄透鏡公式4:

通過(guò)將 s 的值與 s’ 相加，計(jì)算激光器到聚焦點(diǎn)的總距離。公式 10也可以采用無(wú)因次形式表示，即等式兩邊同時(shí)乘以 f:

當(dāng) zR/f 趨于 0 時(shí)，這個(gè)等式接近標(biāo)準(zhǔn)的薄透鏡公式，允許將標(biāo)準(zhǔn)薄透鏡公式用于長(zhǎng)焦距透鏡。通過(guò)透鏡成像后，可以使用公式 10 和11 找到束腰的位置（圖 5）。

圖 5: 高斯光束重聚焦時(shí)的“物體”為輸入束腰，“圖像”為輸出束腰

標(biāo)準(zhǔn)化圖像距離 (s’/f ) 與標(biāo)準(zhǔn)化物體距離 (s/f ) 的對(duì)比圖顯示給定標(biāo)準(zhǔn)化瑞利長(zhǎng)度 (zR/f) 下可能的輸出束腰位置（圖 6）。這張圖表明通過(guò)透鏡聚焦的高斯光束與傳統(tǒng)的薄透鏡成像相比有幾個(gè)關(guān)鍵的區(qū)別。高斯光束成像具有小和大的可能成像距離，而傳統(tǒng)的薄透鏡成像沒(méi)有。重新聚焦的高斯光束的大成像距離位于距物體 -(f + zR) 處，而不是 –f 處。圖中 s/f = -1 和 s’/f = 1 的點(diǎn)表示如果輸入在凸形透鏡的前焦點(diǎn)處，輸出束腰將在透鏡的后焦點(diǎn)處。

圖 6: zR/f=0 的曲線對(duì)應(yīng)于傳統(tǒng)的薄透鏡公式。zR/f>0 的曲線表 明，高斯成像具有瑞利長(zhǎng)度所定義的小和大成像距離

為了理解光束穿過(guò)透鏡后的束腰和瑞利長(zhǎng)度，需要知道系統(tǒng)的放大倍率 (α)，其計(jì)算公式為:

其中 w0 為透鏡前束腰，w0’ 為透鏡后束腰。然后可以改寫(xiě)高斯光束的薄透鏡公式，以包括透鏡后光束的瑞利長(zhǎng)度 (zR'):

如果透鏡在束腰處(s=0)，上述公式將失效。放大倍數(shù)常量平方值的倒數(shù)可以用來(lái)關(guān)聯(lián)束腰的大小和位置3:

將高斯光束聚焦到一個(gè)點(diǎn)上

In many applications, such as laser materials processing or surgery, it is highly important to focus a laser beam down to the smallest spot possible to maximize intensity and minimize the heated area. In cases such as these, the goal is to minimize w₀' (Figure 7). A modified version of Equation 14 may be used to identify how to minimize the output beam waist³:

Figure 7: 將激光束聚焦到盡可能小的尺寸對(duì)于包括這種激光切割裝置在內(nèi)的廣泛應(yīng)用至關(guān)重要

兩邊同時(shí)乘以方程左邊的分母，然后再乘以 (w0')2后，公式 15 變成:

Solving for w0' results in:

可以通過(guò)減少透鏡焦距和 |s|-f 來(lái)盡可能縮小聚焦束腰。公式 18 中w0 旁邊的參數(shù)被定義為另一種形式的放大倍率常數(shù) α，用于比較入射光束和經(jīng)過(guò)透鏡后的輸出光束的值（圖 8）.3

圖 8: 對(duì)于放大倍率 2，輸出束腰將是輸入束腰的兩倍，輸出發(fā)散將是輸入光束發(fā)散的一半

There are two limiting cases which further simplify the calculations of the output beam waist size and location: when s is much less than zR or much greater than zR.3 When the lens is well within the laser’s Rayleigh range, then s << zR and (|s|-f)2<〖z_R〗2. Equation 19 simplifies to:

這也簡(jiǎn)化了輸出光束的束腰、發(fā)散度、瑞利長(zhǎng)度和束腰位置的計(jì)算:

當(dāng) s >> zR 時(shí)，透鏡到聚焦點(diǎn)的距離等于透鏡的焦距。

另一種限制情況是，透鏡距離瑞利長(zhǎng)度和 s >> zR 很遠(yuǎn)，公式 19 將簡(jiǎn)化為:

這使輸出束腰直徑等于:

與 s << zR 時(shí)相同，輸出束腰、發(fā)散度、瑞利長(zhǎng)度和束腰位置的計(jì)算也簡(jiǎn)化了:

s >> zR, 時(shí)，從透鏡到聚焦點(diǎn)的距離等于透鏡的焦距。

這兩個(gè)結(jié)果都具有直觀意義，因?yàn)樵谑幒碗x束腰很遠(yuǎn)的位置，光束的波前都近似平面。在這些位置，光束幾乎*平行（圖 9）。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的薄透鏡公式，準(zhǔn)直輸入的成像距離等于透鏡的焦距。

圖 9: 如果輸入光束束腰離透鏡很近或很遠(yuǎn)，高斯光束經(jīng)過(guò)透鏡后，其聚焦位置就會(huì)位于透鏡的焦點(diǎn)上。這是因?yàn)檩斎牍馐谶@些點(diǎn)上近似平行

高斯焦距變換

Counterintuitively, the intensity of a focused beam in a target at a fixed distance (L) away from the lens is not maximized when the waist is located at the target. The intensity on the target is actually maximized when the waist occurs at a location before the target (Figure 10). This phenomenon is known as Gaussian focal shift.

圖 10: 目標(biāo)處的光束半徑在聚焦光束的束腰出現(xiàn)在目標(biāo)前的特定位置，而不是目標(biāo)處時(shí)達(dá)到小值

本文未涵蓋詳細(xì)的推導(dǎo)，但目標(biāo)的光束半徑可以通過(guò)以下表達(dá)式描述:5:

區(qū)分關(guān)于聚焦透鏡的焦距 (f) 的公式 34，并求出 d⁄df [wL (f )]=0 時(shí)的 f 可以得到透鏡焦距，從而使目標(biāo)位置的光束半徑小，因而強(qiáng)度大。

當(dāng)|s|趨近于零或無(wú)窮大時(shí)，f = L 時(shí) d⁄df [wL (f )]=0。在這兩種情況下，輸入光束都近似準(zhǔn)直光，因此可以得出小光束半徑將出現(xiàn)在透鏡的焦點(diǎn)上。

準(zhǔn)直高斯光束

在發(fā)散度為 0 的情況下無(wú)法實(shí)現(xiàn)真正的準(zhǔn)直光束，但可以通過(guò)小化發(fā)散度或大化觀察點(diǎn)與近束腰之間的距離來(lái)實(shí)現(xiàn)近似準(zhǔn)直光束。由于輸出發(fā)散度與放大倍率常數(shù) α 成反比，因此輸出發(fā)散在|s|= f時(shí)達(dá)到小值（圖 11）。

圖 11: 要對(duì)高斯光束進(jìn)行準(zhǔn)直，束腰到準(zhǔn)直透鏡的距離應(yīng)該等于透鏡的焦距

參考文獻(xiàn)

1. Paschotta, Rüdiger. Encyclopedia of Laser Physics and Technology, RP Photonics, October 2017.
2. “Gaussian Beam Optics.” CVI Laser Optics, IDEX Optics & Photonics.
3. O'Shea, Donald C. Elements of Modern Optical Design. Wiley, 1985.
4. Self, Sidney A. “Focusing of Spherical Gaussian Beams.” Applied Optics, vol. 22, no. 5, Jan. 1983.

Katz, Joseph, and Yajun Li. “Optimum Focusing of Gaussian Laser Beams: Beam Waist Shift in Spot Size Minimization.” Optical Engineering, vol. 33, no. 4, Apr. 1994, pp. 1152–1155., doi:10.1117/12.158232.